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<!DOCTYPE html>

<title>Homotopieverfahren</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Homotopieverfahren</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Homotopie-Verfahren (auch als Homotopiemethode, Fortsetzungs- oder Einbettungsverfahren bezeichnet) sind Berechnungsmethoden in der <a href="Numerische_Mathematik" title="Numerische Mathematik">numerischen Mathematik</a> zur Bestimmung von Lösungen <a href="Gleichungssystem#Einteilung_nach_(Nicht)Linearität" class="mw-redirect" title="Gleichungssystem">nichtlinearer Gleichungssysteme</a>. Ziel ist es dabei, den <a href="Konvergenzbereich" title="Konvergenzbereich">Konvergenzbereich</a> eines Verfahrens zur Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme (wie zum Beispiel des Newtonverfahrens) zu vergrößern.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Vorbetrachtung">Vorbetrachtung</h2></div>

Eine Lösung eines nichtlinearen Gleichungssystems <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(x)=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(x)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c2781b2fdf803ec83ee7e8a41a54bf1877b4d84f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.141ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(x)=0}" loading="lazy"> ist ein Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c520ee2cb6ccf8a93c89a8c58a8378796bd52e53.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.067ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy">, der in der Regel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> nichtlinearen Bedingungen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{1}(x)=F_{2}(x)=\cdots =F_{n}(x)=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{1}(x)=F_{2}(x)=\cdots =F_{n}(x)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b58640bc58295beb1785c9b96b44f001d55ea07a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:33.507ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F_{1}(x)=F_{2}(x)=\cdots =F_{n}(x)=0}" loading="lazy"> genügt, die zu einer vektorwertigen nichtlinearen <a href="Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Funktion</a> (Abbildung) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F:\,\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F:\,\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d8d69b6cafc02efabffd2190bfa598247a25b601.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:13.472ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle F:\,\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> zusammengefasst werden. Bei vielen Anwendungen enthält die Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> Problemparameter, etwa <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t\in \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t\in \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/592bced0c39b10fc90e74c6a66223abfbfb029de.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.358ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle t\in \mathbb {R} }" loading="lazy">, welche verschiedene Werte annehmen können. Ein bekanntes Beispiel ist das reale <a href="Mathematisches_Pendel" title="Mathematisches Pendel">Pendel</a>, dessen Schwingungsdauer nichtlinear von der reduzierten Pendellänge abhängt. In diesem Fall lautet das <a href="Gleichungssystem" class="mw-redirect" title="Gleichungssystem">Gleichungssystem</a> korrekter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(x,t)=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(x,t)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3c8441e81ed89958cad5ea83548359410f4d5f3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.014ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(x,t)=0}" loading="lazy">, und auch die Lösung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> hängt vom Parameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"> ab und bildet daher eine Lösungs<a href="Kurve_(Mathematik)" title="Kurve (Mathematik)">kurve</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\colon [0,1]\to \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\colon [0,1]\to \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0b9c817c2722db779477f0ba9947fa552a1fc187.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.527ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x\colon [0,1]\to \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> mit

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F{\bigl (}x(t),t{\bigr )}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d8d7cd2e1d9062db85ea93729cf793be8fd678b1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:13.984ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle F{\bigl (}x(t),t{\bigr )}=0}" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t\in [0,1]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t\in [0,1]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/31a5c18739ff04858eecc8fec2f53912c348e0e5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.333ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle t\in [0,1]}" loading="lazy"></dd></dl>

Als möglicher Bereich des Parameters <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"> wurde dabei <a href="Ohne_Beschr%C3%A4nkung_der_Allgemeinheit" title="Ohne Beschränkung der Allgemeinheit">ohne Beschränkung der Allgemeinheit</a> das Intervall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [0,1]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [0,1]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.653ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [0,1]}" loading="lazy"> gewählt.

Die Existenz einer glatten Kurve folgt unter geeigneten Voraussetzungen aus dem <a href="Satz_%C3%BCber_implizite_Funktionen" class="mw-redirect" title="Satz über implizite Funktionen">Satz über implizite Funktionen</a>.

Homotopie-Verfahren sind numerische Verfahren, die solche implizit definierten Kurven verfolgen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Homotopie_für_nichtlineare_Gleichungssysteme">Homotopie für nichtlineare Gleichungssysteme</h2></div>

Eine prinzipielle Schwierigkeit beim Einsatz des <a href="Newton-Verfahren" class="mw-redirect" title="Newton-Verfahren">Newton-Verfahrens</a> ist die Bestimmung einer Start-Näherung, die nahe genug an der Lösung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {x}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {x}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/18d95a7845e4e16ffb7e18ab37a208d0ab18e0e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\hat {x}}}" loading="lazy"> liegen muss, um Konvergenz zu erreichen. Dieses Problem kann man durch Einbettung in eine <a href="Homotopie" title="Homotopie">Homotopie</a> und die Verfolgung der Lösungskurve umgehen. Es sei jetzt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G(x)=0,\ x\in \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G(x)=0,\ x\in \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/227af86b71fadce5bdec3be1bf2d15b955f5a6f7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.908ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle G(x)=0,\ x\in \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> das zu lösende nichtlineare Gleichungssystem mit Lösung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {x}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {x}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/18d95a7845e4e16ffb7e18ab37a208d0ab18e0e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\hat {x}}}" loading="lazy">. Dann kann man etwa durch

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(x,t)=0,\quad F(x,t):=G(x)-(1-t)G(y),\quad t\in [0,1],}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9a9f4646b08064641e7028ae710206bdb3db73e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:56.455ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(x,t)=0,\quad F(x,t):=G(x)-(1-t)G(y),\quad t\in [0,1],}" loading="lazy"></dd></dl>

mit einem festen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d2ae8c2b8037da4e5597d0c67b374badf1d8d439.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.893ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> ein Hilfsproblem definieren, dessen Lösung man an der Stelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43469ec032d858feae5aa87029e22eaaf0109e9c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.101ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle t=0}" loading="lazy"> kennt: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0{\stackrel {!}{=}}F(x,0)=G(x)-G(y)}">

<mover>

</mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0{\stackrel {!}{=}}F(x,0)=G(x)-G(y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/380494249c6de1dda1035b6c8538e59e304fbc11.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.743ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle 0{\stackrel {!}{=}}F(x,0)=G(x)-G(y)}" loading="lazy"> ergibt offensichtlich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x(0)=y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(0)=y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/31edb7295b46870e144e32ad2732f1670abcd828.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.555ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x(0)=y}" loading="lazy">. Andererseits ist die mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy"> gesuchte Lösung gerade die an der Stelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t=1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/970dea4a5f5ec5355c4cdd62f6396fbc8b1baaa1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.101ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle t=1}" loading="lazy">: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0{\stackrel {!}{=}}F(x,1)=G(x)}">

<mover>

</mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0{\stackrel {!}{=}}F(x,1)=G(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9b8b46dbfbf9a45a2e3fbe6c076548ba02f9b07b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.111ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle 0{\stackrel {!}{=}}F(x,1)=G(x)}" loading="lazy">, also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {x}}=x(1)}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {x}}=x(1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8bffa740bb0e57b2e1c4117caaffc4fe492d2ec9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.73ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {x}}=x(1)}" loading="lazy">. Mit den im folgenden Abschnitt beschriebenen Verfahren kann nun die Kurve <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d54c275db3a1e620737b58e143b0818107fa5f5c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.979ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x(t)}" loading="lazy"> von der bekannten Lösung in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43469ec032d858feae5aa87029e22eaaf0109e9c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.101ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle t=0}" loading="lazy"> zur gesuchten in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t=1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/970dea4a5f5ec5355c4cdd62f6396fbc8b1baaa1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.101ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle t=1}" loading="lazy"> verfolgt werden.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Numerische_Kurvenverfolgung">Numerische Kurvenverfolgung</h2></div>

Das schon erwähnte <a href="Newton-Verfahren#Lokale_quadratische_Konvergenz" class="mw-redirect" title="Newton-Verfahren">Newton-Verfahren</a> konvergiert sehr schnell (quadratisch), aber nur lokal bei genügend genauer Startnäherung. Dies wird bei der Kurvenverfolgung ausgenutzt, dass der Parameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"> in kleinen Schritten vergrößert wird, etwa von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0\leq t_{m-1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0\leq t_{m-1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a30759b84a709ebd1345722412b5ef00a1470b7e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.876ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 0\leq t_{m-1}}" loading="lazy"> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{m}=t_{m-1}+h_{m}\,}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{m}=t_{m-1}+h_{m}\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3eb8835f2654490b7ea04c108cd088033c654e8a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.47ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle t_{m}=t_{m-1}+h_{m}\,}" loading="lazy">. Dann ist die alte Lösung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x(t_{m-1})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(t_{m-1})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6193362e5da77f7ce90a3d7d47e75d823731196d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.754ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x(t_{m-1})}" loading="lazy"> für eine kleine Schrittweite <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h_{m}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{m}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/790122b38658a2f398fe85b547a3f7f6db76d324.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.014ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle h_{m}}" loading="lazy"> eine gute Startnäherung für das Problem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(x(t_{m}),t_{m})=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(x(t_{m}),t_{m})=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3f31d86a95d4d38d1f821b1ef6c4b168519d0d92.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.013ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(x(t_{m}),t_{m})=0}" loading="lazy">:

<dl><dd>Trivialer Prädiktor

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,\!x_{0}(t_{m}):=x(t_{m-1})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/85c807f6ed2848c88f3d55fd2b594069580eefed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.207ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \,\!x_{0}(t_{m}):=x(t_{m-1})}" loading="lazy">,</dd></dl></dd></dl></dd>

<dd>Korrektoriteration

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left.{\begin{array}{rl}D_{x}F(x_{k}(t_{m}),t_{m})v_{k}=&-F(x_{k}(t_{m}),t_{m}),\\[0.3em]x_{k+1}(t_{m})=&x_{k}(t_{m})+v_{k},\end{array}}\right\}k=0,1,\ldots .}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/03de9724998f05f8a8b8e66045125e4080b29349.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:55.697ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \left.{\begin{array}{rl}D_{x}F(x_{k}(t_{m}),t_{m})v_{k}=&-F(x_{k}(t_{m}),t_{m}),\\[0.3em]x_{k+1}(t_{m})=&x_{k}(t_{m})+v_{k},\end{array}}\right\}k=0,1,\ldots .}" loading="lazy"></dd></dl></dd></dl></dd></dl>

Dabei ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \,\!D_{x}F}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,\!D_{x}F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/017c65a321a16e99f6cfd1893915cd02b0e791c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.838ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \,\!D_{x}F}" loading="lazy"> eine Kurzschreibweise für die quadratische <a href="Jacobi-Matrix" title="Jacobi-Matrix">Jacobi-Matrix</a> der <a href="Partielle_Ableitung" title="Partielle Ableitung">partiellen Ableitungen</a> nach den Variablen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/737e02a5fbf8bc31d443c91025339f9fd1de1065.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.11ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}" loading="lazy">.

Sie bildet die Matrix des <a href="Lineares_Gleichungssystem" title="Lineares Gleichungssystem">linearen Gleichungssystems</a>, das in jedem Newtonschritt für die Korrekturen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s_{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/04f159343172781e7666dbc88280c91f34117c30.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.179ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle s_{k}}" loading="lazy"> zu lösen ist. Eine Skizze dieses Vorgehens zeigt das erste Diagramm.

Das zweite Diagramm verdeutlicht, dass man eine bessere Startnäherung erhält, wenn man vom Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x(t_{m-1})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(t_{m-1})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6193362e5da77f7ce90a3d7d47e75d823731196d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.754ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x(t_{m-1})}" loading="lazy"> aus in Richtung der Kurventangente geht. Die <a href="Tangente" title="Tangente">Tangente</a> kann mit Hilfe der <a href="Kettenregel" title="Kettenregel">Kettenregel</a> bestimmt werden. Denn da die Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(x(t),t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(x(t),t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b59f3dc498ec2890bf3ff60bbbafdf162f00aef1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.402ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(x(t),t)}" loading="lazy"> identisch verschwindet, tut dies auch ihre Ableitung,

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0\equiv {\frac {d}{dt}}F(x(t),t)=D_{x}F(x(t),t)x'(t)+D_{t}F(x(t),t).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6b0f691805a28dc0b57bf93abd9afe7754bc7668.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:52.455ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle 0\equiv {\frac {d}{dt}}F(x(t),t)=D_{x}F(x(t),t)x'(t)+D_{t}F(x(t),t).}" loading="lazy"></dd></dl>

Im Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{m-1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{m-1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/532ac11672891d72b48f9901da27ed279f85fbb1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.615ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle t_{m-1}}" loading="lazy"> kann also die <a href="Tangente" title="Tangente">Tangentenrichtung</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z_{m-1}:=x'(t_{m-1})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{m-1}:=x'(t_{m-1})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/528a83987d14283b991d323fd409c937cfd46220.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.041ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle z_{m-1}:=x'(t_{m-1})}" loading="lazy"> aus einem linearen Gleichungssystem bestimmt werden.

Dieses Verfahren lautet folgendermaßen:

<dl><dd>Tangentialer Prädiktor

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left.{\begin{array}{rl}D_{x}F{\big (}x(t_{m-1}),t_{m-1}{\big )}z_{m-1}=&-D_{t}F{\big (}x(t_{m-1}),t_{m-1}{\big )},\\[0.3em]x_{0}(t_{m})=&x(t_{m-1})+h_{m}z_{m-1},\end{array}}\right\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/846cea8a2cc40464ebf6f09944d7736f27f21833.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:55.107ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \left.{\begin{array}{rl}D_{x}F{\big (}x(t_{m-1}),t_{m-1}{\big )}z_{m-1}=&-D_{t}F{\big (}x(t_{m-1}),t_{m-1}{\big )},\\[0.3em]x_{0}(t_{m})=&x(t_{m-1})+h_{m}z_{m-1},\end{array}}\right\}}" loading="lazy"></dd></dl></dd></dl></dd>

<dd>Korrektoriteration

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left.{\begin{array}{rl}D_{x}F(x_{k}(t_{m}),t_{m})v_{k}=&-F(x_{k}(t_{m}),t_{m}),\\x_{k+1}(t_{m})=&x_{k}(t_{m})+v_{k},\end{array}}\right\}k=0,1,\ldots .}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/421631e2e0ee643a1b8d2c1cb64b0780f79274e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:55.567ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \left.{\begin{array}{rl}D_{x}F(x_{k}(t_{m}),t_{m})v_{k}=&-F(x_{k}(t_{m}),t_{m}),\\x_{k+1}(t_{m})=&x_{k}(t_{m})+v_{k},\end{array}}\right\}k=0,1,\ldots .}" loading="lazy"></dd></dl></dd></dl></dd></dl>

Gegenüber dem einfachen Verfahren wurde nur die erste Gleichung ersetzt.

Das Diagramm zeigt, dass der Startfehler, den die (grün gezeichneten) <a href="Newton-Verfahren" class="mw-redirect" title="Newton-Verfahren">Newtonschritte</a> überbrücken müssen, in der Regel wesentlich kleiner als beim trivialen Prädiktor ist, bei einer glatten Kurve in der Größenordnung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle O(h_{m}^{2})}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle O(h_{m}^{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6e39f6d16726d0d6e359df2f6ceb4ede08abfd07.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.597ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle O(h_{m}^{2})}" loading="lazy">.

Diese Verbesserung erfordert sogar nur einen unwesentlichen Zusatzaufwand, denn die Matrix <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D_{x}F{\big (}x(t_{m-1}),t_{m-1}{\big )}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D_{x}F{\big (}x(t_{m-1}),t_{m-1}{\big )}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/14385e02642ada21a88a68df5eea0c759fb01818.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:20.371ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle D_{x}F{\big (}x(t_{m-1}),t_{m-1}{\big )}}" loading="lazy"> entspricht der aus dem Newtonschritt. Man kann daher die letzte <a href="LR-Zerlegung" class="mw-redirect" title="LR-Zerlegung">LR-Zerlegung</a> aus dem <a href="Newton-Verfahren" class="mw-redirect" title="Newton-Verfahren">Newton-Verfahren</a> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x(t_{m-1})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(t_{m-1})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6193362e5da77f7ce90a3d7d47e75d823731196d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.754ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x(t_{m-1})}" loading="lazy"> zur Berechnung der Tangente <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z_{m-1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{m-1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ea967744c13ff93bdaffb5fb1c8aed492797a9da.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.857ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle z_{m-1}}" loading="lazy"> wiederverwenden.

Bei der praktischen Durchführung versucht man, die Konvergenz des <a href="Newton-Verfahren" class="mw-redirect" title="Newton-Verfahren">Newton-Verfahrens</a> durch <a href="Schrittweitensteuerung" title="Schrittweitensteuerung">Schrittweitensteuerung</a> sicherzustellen. Dazu wählt man die Schrittweite <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h_{m}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{m}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/790122b38658a2f398fe85b547a3f7f6db76d324.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.014ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle h_{m}}" loading="lazy"> so, dass die <a href="Kontraktion_(Mathematik)" title="Kontraktion (Mathematik)">Kontraktion</a> in den beiden ersten Newton-Schritten genügend klein ist, insbesondere kleiner eins. Wenn sich das gewählte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h_{m}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{m}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/790122b38658a2f398fe85b547a3f7f6db76d324.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.014ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle h_{m}}" loading="lazy"> nachträglich als zu groß herausstellt und das Newton-Verfahren schlecht oder gar nicht konvergiert, wiederholt man den Schritt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{m-1}\to t_{m}=t_{m-1}+h_{m-1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{m-1}\to t_{m}=t_{m-1}+h_{m-1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8bf5d32d25b60e2d91d2f76b7598acc66efd660b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:26.412ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle t_{m-1}\to t_{m}=t_{m-1}+h_{m-1}}" loading="lazy"> mit einem kleineren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h_{m}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{m}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/790122b38658a2f398fe85b547a3f7f6db76d324.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.014ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle h_{m}}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Verfolgung_allgemeiner_Kurven">Verfolgung allgemeiner Kurven</h2></div>

Die beschriebenen Verfahren arbeiten nur dann problemlos, wenn die Funktion F genügend oft <a href="Differentiation" class="mw-redirect" title="Differentiation">differenzierbar</a> ist und die <a href="Jacobi-Matrix" title="Jacobi-Matrix">Jacobi-Matrix</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D_{x}F}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D_{x}F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/546989a12356685c7327cc4b5d55deaf89e97d8e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.838ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle D_{x}F}" loading="lazy"> überall <a href="Regul%C3%A4re_Matrix" title="Reguläre Matrix">regulär</a> ist. Gilt letzteres nicht mehr, können Umkehrpunkte und Verzweigungspunkte der Kurve auftreten.

Nach Umkehrpunkten verläuft die Kurve „rückwärts“, in Verzweigungspunkten spaltet sie sich auf. In beiden Fällen ist daher eine (eindeutige) Parametrisierung nach der Variable t nicht mehr möglich. Daher betrachtet man t einfach als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (n+1)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (n+1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b30a29cfd35628469f9dbffea4804f5b422f3037.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.207ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (n+1)}" loading="lazy">-te Komponente der Unbekannten bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=(x_{1},\ldots ,x_{n},t)^{T}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=(x_{1},\ldots ,x_{n},t)^{T}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ccc744520d6a2da8ab0b68b41442ae680b2eb5ff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.436ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle y=(x_{1},\ldots ,x_{n},t)^{T}}" loading="lazy"> und parametrisiert die Kurve nach ihrer Bogenlänge s. Dann sucht man alle Lösungen

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y(s):\quad F(y(s))=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/faf2ae69107d966c810a4804c1bc80902b95044c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.181ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y(s):\quad F(y(s))=0}" loading="lazy">, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F:\,\mathbb {R} ^{n+1}\to \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F:\,\mathbb {R} ^{n+1}\to \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5cad1b31d81899ba9e2b0b08bce2a6bd49565d9a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:15.573ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle F:\,\mathbb {R} ^{n+1}\to \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"></dd></dl></dd></dl></dd></dl>

ist. Dieses <a href="Gleichungssystem" class="mw-redirect" title="Gleichungssystem">Gleichungssystem</a> ist unterbestimmt und hat unendlich viele Lösungen, die unter geeigneten Voraussetzungen eine glatte Lösungskurve <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y(s)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y(s)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bc9bb116333b3272a4315245d996a713d530a567.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.055ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y(s)}" loading="lazy"> bilden.

Wie zuvor folgt aus der Kettenregel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F'(y(s))y'(s)\equiv 0}">

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F'(y(s))y'(s)\equiv 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/62eb54cb502f91ca7257095929429b063177909f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.37ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle F'(y(s))y'(s)\equiv 0}" loading="lazy">, dass die <a href="Tangente" title="Tangente">Tangentenrichtung</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y'(s)}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y'(s)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/01013f143dacbb8bac4e1806a327244d069c4fad.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.745ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle y'(s)}" loading="lazy"> das homogene Gleichungssystem mit der vollen <a href="Jacobimatrix" class="mw-redirect" title="Jacobimatrix">Jacobimatrix</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F'=\partial F/\partial y\in \mathbb {R} ^{n\times (n+1)}}">

<msup>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F'=\partial F/\partial y\in \mathbb {R} ^{n\times (n+1)}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4dc4fe3d33e16e569111f218075d90ae38b3e4a5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.675ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle F'=\partial F/\partial y\in \mathbb {R} ^{n\times (n+1)}}" loading="lazy"> erfüllt, also im <a href="Kern_(Algebra)" title="Kern (Algebra)">Kern</a> dieser Matrix liegt. Damit kann also wieder ein Prädiktor berechnet werden. Auch das <a href="Newton-Verfahren" class="mw-redirect" title="Newton-Verfahren">Newton-Verfahren</a> ist durchführbar, indem man eine Richtung wählt, die orthogonal zur Kurventangente, also zum <a href="Kern_(Algebra)" title="Kern (Algebra)">Kern</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F'(y)}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F'(y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a1846db4e7296b3054258bd032a4804b5b6be092.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.464ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle F'(y)}" loading="lazy"> liegt. Diese Richtung wird automatisch durch die Moore-Penrose-<a href="Pseudoinverse" title="Pseudoinverse">Pseudoinverse</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9cb2068c9fcb933aa21d1cfd42103514f5276e73.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.499ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F'}" loading="lazy"> berechnet. Bei diesem Verfahren wird eine <a href="Approximation" title="Approximation">Approximation</a> an die Bogenlänge s schrittweise vergrößert:

<dl><dd>Allgemeiner Prädiktor-Korrektor-Schritt

<mtr>

<mtd>

<msup>

</msup>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msup>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{array}{rl}F'{\big (}y(s_{m-1}){\big )}z_{m-1}&=0,\ \|z_{m-1}\|_{2}=1,\\s_{m}&:=s_{m-1}+h_{m},\\y_{0}(s_{m})&:=y(s_{m-1})+h_{m}z_{m-1};\\y_{k+1}(s_{m})&:=y_{k}(s_{m})-{\Big (}F'(y_{k}(s_{m})){\Big )}^{+}\,F(y_{k}(s_{m})),\ k=0,1,\ldots .\end{array}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d12a34c903ea001b87c1500eff9a92d40545e9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -7.171ex; width:73.346ex; height:15.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{array}{rl}F'{\big (}y(s_{m-1}){\big )}z_{m-1}&=0,\ \|z_{m-1}\|_{2}=1,\\s_{m}&:=s_{m-1}+h_{m},\\y_{0}(s_{m})&:=y(s_{m-1})+h_{m}z_{m-1};\\y_{k+1}(s_{m})&:=y_{k}(s_{m})-{\Big (}F'(y_{k}(s_{m})){\Big )}^{+}\,F(y_{k}(s_{m})),\ k=0,1,\ldots .\end{array}}}" loading="lazy"></dd></dl></dd></dl></dd></dl>

Die Bezeichnung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\ldots )^{+}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\ldots )^{+}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/da5c8ea2cba7d0db04f28f8ad5d7c78c5af7e3ba.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.043ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (\ldots )^{+}}" loading="lazy"> bezeichnet dabei die erwähnte <a href="Pseudoinverse" title="Pseudoinverse">Pseudoinverse</a>.

Das dritte Diagramm skizziert dieses Vorgehen, der (grün gezeichnete) Newtonschritt verläuft ungefähr orthogonal zur Kurve und hat daher auch im Umkehrpunkt (vertikaler Verlauf der Kurve) keine Schwierigkeiten.

<dl><dd>Bemerkungen:

<ul><li>Durch die erste Bedingung ist noch nicht die Richtung der Tangente <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pm z_{m-1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pm z_{m-1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/29fe462af9335691da0a18fb259a8daec14d9546.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.665ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \pm z_{m-1}}" loading="lazy"> festgelegt. Man wählt das <a href="Vorzeichen_(Zahl)" title="Vorzeichen (Zahl)">Vorzeichen</a> natürlich so, dass das <a href="Innenprodukt" class="mw-redirect" title="Innenprodukt">Innenprodukt</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z_{m-1}^{T}z_{m-2}>0}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{m-1}^{T}z_{m-2}>0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5fd1ab122a920d921a9f38e36b831c53e4d95486.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:13.974ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle z_{m-1}^{T}z_{m-2}>0}" loading="lazy"> ist, um in einer Richtung vorzugehen.</li>

<li>Die beiden Teilschritte können mit der <a href="QR-Zerlegung" title="QR-Zerlegung">QR-Zerlegung</a> der <a href="Transponierte_Matrix" title="Transponierte Matrix">transponierten Matrix</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \,(F'(y))^{T}=QR}">

<msup>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,(F'(y))^{T}=QR}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4a2f9c7535c8d52850acf9be8abc9a4579b72078.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.751ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \,(F'(y))^{T}=QR}" loading="lazy"> effizient ausgeführt werden. Die Tangentenrichtung erhält man mit einem beliebigen Vektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u\not =0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u\not =0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/332548c60a1d93e4e50b5ea83ad0b4506c72d87e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.591ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle u\not =0}" loading="lazy"> durch Normierung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \,(E-QQ^{T})u}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,(E-QQ^{T})u}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/be1bfdc80307b8c1276e4c8116fdd2519a90802f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.208ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \,(E-QQ^{T})u}" loading="lazy">, wenn der letzte Ausdruck ungleich null ist.</li>

<li>Die Newton-Korrektur <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \,v_{k}=y_{k+1}(s_{m})-y_{k}(s_{m})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,v_{k}=y_{k+1}(s_{m})-y_{k}(s_{m})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fc0f369f925b53b878d88d37c331316b7020ee6b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.248ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \,v_{k}=y_{k+1}(s_{m})-y_{k}(s_{m})}" loading="lazy"> berechnet man über <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{k}=-Q{\tilde {v}}_{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{k}=-Q{\tilde {v}}_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e7edd9f8300e19fe34f75780a29d69c100a2e4a6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.277ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle v_{k}=-Q{\tilde {v}}_{k}}" loading="lazy">, wobei der Vektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tilde {v}}_{k}\in \mathbb {R} ^{n}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {v}}_{k}\in \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b193556d4fc99cd5e269e749c3edf14eb57ee893.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.053ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {v}}_{k}\in \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> das quadratische Dreiecksystem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R^{T}{\tilde {v}}_{k}=F(y_{k}(s_{m}))}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R^{T}{\tilde {v}}_{k}=F(y_{k}(s_{m}))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3a433b6cd8e4d34bbfbcc31fe3808b7509ac26e9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.92ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle R^{T}{\tilde {v}}_{k}=F(y_{k}(s_{m}))}" loading="lazy"> löst.</li></ul></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Werner C. Rheinboldt: Numerical Analysis of Parametrized Nonlinear Equations. John Wiley and Sons, New York 1986, ISBN 0-471-88814-1. (siehe auch das <a href="FORTRAN" class="mw-redirect" title="FORTRAN">FORTRAN</a>-Modul PITCON als Teil der netlib.org-Bibliothek <a rel="nofollow" class="external text" href="https://netlib.org/contin/">contin</a>)</li>

<li>P. Deuflhard, A. Hohmann: Numerische Mathematik. de Gruyter, 1991, ISBN 3-11-012917-5.</li>

<li>E. L. Allgower, K. Georg: Introduction to numerical continuation methods. SIAM Philadelphia, 2003, ISBN 0-89871-544-X.</li>

<li>Schwetlick, H. und Kretschmar, H.: <cite style="font-style:italic">Numerische Verfahren für Naturwissenschaftler und Ingenieure</cite>. Fachbuchverlag Leipzig, 1991, ISBN 3-343-00580-0, S. 200.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Homotopieverfahren&rft.au=Schwetlick%2C+H.+und+Kretschmar%2C+H.&rft.btitle=Numerische+Verfahren+f%C3%BCr+Naturwissenschaftler+und+Ingenieure&rft.date=1991&rft.genre=book&rft.isbn=3343005800&rft.pages=200&rft.pub=Fachbuchverlag+Leipzig" style="display:none"> </li>

<li><a href="Martin_Hermann_(Mathematiker)" title="Martin Hermann (Mathematiker)">M. Hermann</a>: Numerische Mathematik, Band 1: Algebraische Probleme. 4., überarbeitete und erweiterte Auflage. Walter de Gruyter Verlag, Berlin und Boston 2020. ISBN 978-3-11-065665-7.</li></ul></div><div><div class="zim-footer">

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